Gödel y la incompletitud.

Lo cierto es que tanto el teorema de la incompletitud como el falsacionismo de Popper nos llevan a la misma conclusión que ya apuntó Descartes, pero que a su vez cuestionaron los griegos en su momento.  Es imposible que se dé todo lo que es posible porque una cosa no puede darse a la vez y su contraria. Con lo que lo único cierto es que no hay nada cierto, aunque esta afirmación en si misma sea una paradoja. 

¿Y por qué meto a Descartes de por medio? Pues porque de los motivos de duda que el apuntó. Falacia de los sentidos, confusión del sueño con la vigilia e hipótesis del genio maligno, sólo esta cuestionaba lo que hasta el momento se había dado por evidente, las verdades matemáticas. En realidad, lo que Descartes plantea es que nosotros estamos absolutamente seguros de la validez del sistema matemático dentro de las reglas arbitrarias que hemos establecido como formalmente válidas, pero no hay motivo para pensar que en cualquier otro sistema tenga que ser necesariamente así. Podría ser que alguien me esté haciendo creer que los ángulos de un triángulo suman dos rectos y no ser necesariamente así en otro sistema geométrico.

Sin embargo y, si obvio la duda cartesiana, ciñéndome exclusivamente a la certeza formal establecida dentro de nuestros sistemas, lo que cuestiona Gödel es la validez de los axiomas que utilizamos en cada uno de ellos y si se puede demostrar su consistencia desde dentro del propio sistema. Y lo cierto es que no.

Un sistema formal debe reunir una serie de condiciones sin las cuales no es posible establecerlo como tal. Consistencia, completitud y decidibilidad. Un sistema formal es consistente cuando no contiene ningún teorema (en lógica, proposición) contradictoria, lo que equivale a decir que no puede derivarse una fórmula y la negación de la misma. Es completo si es posible deducir todas las fórmulas que configuran dicho sistema, de dónde se deduce que si dada una fórmula del mismo se puede demostrar bien ésta o bien su contraria, y nunca ambas (y es aquí dónde está el quid del tema, porque  el cuestionamiento de la completitud implica necesariamente el de la consistencia, que es lo que ayer me mantuvo en vilo todo el tiempo) En cuanto al tercer requisito, un sistema es decidible si existe un procedimiento mecánico que, mediante un número finito de pasos (en matemáticas, un algoritmo: un conjunto de fórmulas que seguidos de forma sistemática y ordenada nos llevan «indefectiblemente» a la solución del problema que se plantea) puede establecer si una determinada fórmula es o no un teorema de dicho sistema.

Si consideramos un axioma como un determinado número de verdades indemostrables y evidentes en sí mismas (principios lógicos generales) que son admitidos implícita o explícitamente por todos los seres humanos y que constituyen el nervio de toda actividad e incluso de todo razonamiento cotidiano. Nos encontramos con que sólo hay tres (el principio de razón suficiente está cuestionado en la actualidad (cosa que es muy discutible pero no voy a entrar en ello). Principio de identidad, que no viene al caso y Principio de no contradicción (o de contradicción) Y aquí nos remitimos directamente a  Aristóteles, que lo enunció como el más universal y evidente del ser y del conocer, en los siguientes términos «Es imposible que un atributo se dé y no se dé simultáneamente en el mismo sujeto y en un mismo sentido» de donde su vertiente lógica deduce que una proposición no puede ser a la vez verdadera y falsa. A y no A (Y perdona que no utilice la simbolización lógica, pero hacerlo me llevaría mucho tiempo) Y por último nos encontramos con el principio de tercio excluso (interesante porque es fácil confundirlo con el anterior puesto que se deriva de éste) que nos dice que entre el ser y el no ser no existe término medio. En lógica se define como que si una proposición es verdadera su contraria tiene que ser falsa y viceversa. A o no A (Y en lógica la disyunción siempre es inclusiva, no exclusiva)

Antes he definido los axiomas como verdades indemostrables, que asumimos como ciertas. Si son indemostrables el propio sistema formal no puede asumirlas como tal, y sin embargo las da por supuestos básicos, con lo que hay que recurrir a otro sistema formal para demostrarlas, pero que a su vez se demuestra insuficiente, y lo único que nos queda es siempre la indecibilidad de una proposición o su contraria (me recuerda mucho al principio de incertidumbre) con lo que la estructura de nuestro razonamiento se nos viene abajo. Presuponemos cosas que no podemos demostrar. El mismo Gödel admitía que sabemos que muchas son ciertas pero que no podemos demostrar que lo sean. Aristóteles, en su tiempo, anunció que la razón humana es capaz de comprender mucho más de lo que es capaz de expresar… Y al final el único que admitía que nos empeñamos en encasillar la realidad bajo términos gramaticales, que surgen de las cosas, pero a las que les atribuimos mayor realidad que a aquello de lo que surge, es Nietzsche. «No nos vamos a desembarazar de Dios mientras sigamos creyendo en la gramática» Y cualquier lenguaje, natural o formal, se demuestra insuficiente para expresar lo que el hombre conoce y sabe. El problema es que nos olvidamos del razonamiento intuitivo e identificamos hablar con pensar.

Pero hay más. En cualquier sistema formal se parte de una serie de axiomas (arbitrarios y cuyo número es infinito) para poder operar. Las variables lógicas son variables porque pueden significar cualquier cosa (p lo mismo me puede servir para decir que hoy el cielo está azul como para afirmar que la fuerza con que se atraen dos cuerpos es directamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa) En la lógica clásica la comprobación de tales afirmaciones era absolutamente empírica. Era ciertas o no en función de si, efectivamente, el cielo estaba azul o se cumplía la ley de la gravitación universal. Pero en lógica formal (y en matemáticas) las variables carecen de contenido, por lo que su validez se establece de forma arbitraria. Una proposición es susceptible de ser verdadera o falsa y mientras no se demuestre una, las dos valen. La inferencia deductiva sólo atiende a la forma del razonamiento, no a su contenido, lo que hace que sea un instrumento muy útil aplicable a cualquier disciplina, pero hemos de asumir la validez de los axiomas para que la conclusión se derive necesariamente de éstos en base a una serie de reglas y fórmulas de transformación de fórmulas y atendiendo a supuestos provisionales. Su utilidad es evidente, nos dice si razonamos bien, pero ¿Quién puede afirmar la validez de los axiomas que tomamos como premisas? Eso es precisamente lo que cuestiona Gödel, y con ello la completitud de los sistemas formales y por tanto su consistencia. Lo que no quiere decir que un sistema formal tenga que ser necesariamente incompleto. De hecho, el sistema de Euclides es casi perfecto.

En cuanto al teorema de Gödel, en lógica (y también en matemáticas) partimos de una serie de axiomas arbitrarios para poder operar. Si antes definí los axiomas como un determinado número de verdades indemostrables y evidentes en si mismas, parece una contradicción lo de la arbitrariedad. Ateniéndonos a la definición estricta, axiomas propiamente dicho son los principios lógicos universales que enuncié anteriormente, pero en los lenguajes formales se denomina «axioma» toda proposición (premisa) que tomo como base sea o no evidente. Los axiomas se establecen sin demostración, pero una vez establecidos, su verdad es incuestionable en el sistema al que pertenecen. A partir de las premisas de un sistema y de las reglas de deducción del mismo, se demuestran otras proposiciones a las que se denomina teoremas. Si utilizamos el lenguaje natural la validez del axioma va a depender de su concordancia con la realidad, pero en lógica formal eso es absolutamente indiferente. Yo puedo decir que si todo político que se preocupa prioritariamente por los intereses de su país es un buen gobernante y un gran hombre y Hitler fue un político que se preocupó prioritariamente por los intereses de su país, debemos concluir que Hitler fue un gran gobernante y un gran hombre. En cualquier sistema formal no importa la adecuación de las premisas a la realidad, lo único que importa es si la argumentación es correcta desde el punto de vista de sus relaciones formales. Y traducido a lenguaje lógico debemos deducir que dada una proposición condicional (si p entonces q) la afirmación del antecedente (p) según la regla del modus ponens, implica necesariamente la afirmación del consecuente (q).

Lo que Gödel nos quiere decir es que asumimos la validez de las premisas sin haberlas demostrado previamente desde el mismo sistema formal en el que operamos y que para poder demostrarlas debemos recurrir a asumir otros axiomas que a su vez tiene que ser demostrados por razonamientos anteriores… por lo que nos encontraríamos con un número infinito de los mismos. Además, si tenemos en cuenta que hay proposiciones cuya verdad o falsedad no puede ser demostrada (indecibilidad) y tendríamos que recurrir a un nuevo axioma para solucionar el problema de las proposiciones no decidibles, volverían a aparecer proposiciones no decidibles y así sucesivamente por lo que todo sistema formal es incompleto (teorema de la incompletitud) Es lo que se llamaría lenguaje y metalenguaje. En la paradoja del mentiroso, por ejemplo (Epiménides es cretense. Y Epiménides dice que todos los cretenses mienten) nos encontramos con que si es verdad lo que dice Epiménides entonces es mentira que todos los cretenses mienten, con lo que Epiménides estaría diciendo la verdad por lo que es cierto que todos los cretenses mienten, pero como Epiménides es cretense lo que dice es mentira, por lo que es verdad que todos cretenses mienten… Y así hasta el infinito.

Todo esto tiene fácil solución si hacemos la distinción apropiada entre lenguaje y metalenguaje, pero esto supone recurrir a otro lenguaje formal que a su vez tiene axiomas que deben ser explicados desde otro lenguaje formal y así sucesivamente, con lo que el círculo nunca se completa… Teoría de la incompletitud.

Es cierto que la paradoja del mentiroso se resolvía fácilmente si recurrimos a la distinción entre lenguaje y metalenguaje, pero eso no termina de resolver el problema como ya demostró Gödel. Lo cierto es que la lógica deductiva es una ciencia universal, al igual que las matemáticas, que suministre la capacidad de realizar cálculos y operaciones de modo exacto. Pero ello requiere la confección de un lenguaje artificial que cuente con reglas explícitas por las que se establezca el uso de los términos y la formación de enunciados. En este sentido los leguajes artificiales son posibles gracias a la capacidad del lenguaje natural para examinar, analizar, y precisar sus propias estructuras, formas y contenidos. Si usando un lenguaje (natural o no) para examinar otro, el leguaje sobre el que tratamos es lenguaje objeto y aquél que utilizamos para expresarnos acerca del anterior, metalenguaje. El número de diferentes niveles de lenguaje (metalenguaje) es indefinido (yo diría que puede ser infinito. Incompletitud de nuevo)

El caso es que elaborar un lenguaje lógico consiste en establecer desde un metalenguaje la sintaxis, y la semántica de la lógica, con lo que obtendríamos una metalógica. En el caso de la paradoja de Epiménides podemos distinguir dos niveles. Uno es el lenguaje que utiliza Epiménides para hablar de los cretenses (metalenguaje. Que por supuesto puede ser verdadero o falso) y otro es el lenguaje al que se refiere Epiménides o lenguaje objeto cuando dice que todos los cretenses mienten (Y que por supuesto también puede ser verdadero o falso) Pero el tema es que la verdad o falsedad de los enunciados no tiene que afectar ni verse afectada por el nivel anterior. A la hora de la verdad esta explicación no nos satisface. Puede que Epiménides sea un mentiroso, pero no lo sabemos. Y aunque lo fuera no tendría por qué estar mintiendo en esta ocasión. De otra manera caeríamos en una falacia lógica. La falacia «ad hominen·» que consiste en desprestigiar un argumento no por el argumento en sí, sino por la persona que lo emite. Lo cual es un grave error (aunque lo utilicen mucho los políticos. A los que yo les recomendaría que estudiaran lógica) El caso es que todo sigue quedando ahí en el aire. Seguimos sin saber si Epiménides miente o no. Si se tratara de una ciencia empírica la solución sería ir a comprobarlo in situ, pero cuando esto no es posible tenemos que conformarnos con hacer cálculo de enunciados.

Cuando tenemos una única proposición p, nos encontramos con que esta puede ser verdadera o falsa, lo que sería el principio de bivalencia según el cual una proposición ha de ser «necesariamente» una cosa u otra. Pero ¿Cómo establecer el valor de verdad de una proposición? Si seguimos a Aristóteles el valor de verdad de un proposición atómica, p, se establece de modo empírico (una proposición atómica es aquella que consta de un sujeto y un predicado: «Hoy luce el sol» por ejemplo) Es cierta si efectivamente luce el sol, pero como en lógica formal las proposiciones han sido sustituidas por variables generales, abstractas, válidas para cualquier contenido, los valores de verdad de dichas proposiciones han de ser igualmente establecidos de forma abstracta o general, con independencia del contenido de las mismas. Po tanto el valor sus valores se establecen de forma convencional y supuesta. Supongamos que p sea verdadera o que sea falsa.

A partir de este tipo de proposiciones se forman las proposiciones moleculares (las que están compuestas de dos o más proposiciones atómicas (p y q, por ejemplo. O, si p entonces q… O sólo en el caso de p, entonces no q ni r o s… y miles de combinaciones) El valor de verdad de la proposición molecular va a depender (o no, como es el caso de las tautologías, las leyes de la lógica) del valor de verdad que tomen cada una de las proposiciones atómicas que forman la proposición molecular. Y siempre siguiendo reglas estrictas de formalización dónde cada proposición sigue el principio de bivalencia solo que combinado (echo de menos que ya no se enseñe combinatoria ni probabilidad en los planes de estudio)

Pero si quiero poder demostrar (a mi nivel, por supuesto) la teoría de Gödel, es necesario aclarar ciertas reglas de los lenguajes formales. Lo demás sería minusvalorar la importancia de su teorema y, por tanto, una aberración. Y necesitamos comprender su trascendencia para poder contrastarlo con otros «monstruos» del pensamiento, que si bien no han sido grandes científicos, supieron sin necesidad de demostración lo que Gödel demostró. Que nuestra visión del mundo es limitada, que comprendemos más de lo que sabemos o podemos expresar… Y que a la hora de la verdad si no nos comprendemos a nosotros mismos ¿Cómo queremos comprender el universo? Seguramente las cosas sean más sencillas. Como diría Nietzsche sólo es verdad lo que sirve a la vida. Y a veces no sabemos cómo vivir.

Puesto que existen principalmente cuatro símbolos conectivos diádicos, nos encontramos con que hay 16 combinaciones posibles, pero no son necesarias todas. Simplemente hay que saber que cuando dos proposiciones están unidas por el conjunto la proposición molecular resultante solo va a ser verdadera en el caso de que ambas proposiciones lo sean. En el caso del disyuntor sólo va a ser falsa cuando ambas proposiciones lo sean. En el condicional sólo va a ser falsa cuando el antecedente sea verdadero pero el consecuente sea falso y si hablamos del bicondicional o coimplicador sólo va ser verdadera cuando o ambas sean verdaderas o ambas sean falsas. Por lo que la verdad o falsedad de una proposición dependerá de que efectivamente sean verdaderas o no las proposiciones atómicas que la forman. Sin embargo, cuando hablamos de tautologías hablamos de un tipo especial de proposición cuyo valor de verdad va a ser siempre así con independencia del valor de verdad que tomen las proposiciones atómicas que forman la proposición molecular. El número de tautologías posibles es infinito (incompletitud) y estas desempeñan un importantísimo papel en lógica pues constituyen el nervio del razonamiento, ya que las reglas lógicas son tautologías. Así cuando a partir de una fórmula lógica se ha deducido otra la implicación entre ambas da lugar a una tautología.

El sistema de las tablas de verdad es muy útil, pero resulta inviable cuando las variables de un argumento son muchas. El número de combinaciones posibles se hace elevando 2 (principio de bivalencia) al número de variables proposicionales que forman el argumento por lo que en caso de tener 20 variables, por ejemplo, es casi imposible calcular todas las posibilidades, por lo que se recurre a la deducción y al cálculo de enunciados por lo que utilizamos reglas de inferencia (modus ponens, tollens, leyes de Morgan, ley del producto, dilemas… que son tautologías y son infinitas, aunque no las usamos todas) A veces hay que recurrir a supuestos provisionales y si aún así es imposible la inferencia actuamos por reducción al absurdo. Cuando se da una proposición y su contraria el resultado puede ser cualquier cosa.

Pero siempre partimos de axiomas a los que les damos un valor de verdad no basado en la demostración…

Y esto es imposible demostrarlo desde el sistema en el que operamos¡¡¡ He aquí Gödel. En estado puro… Pero y esto ¿Qué implica? ¿Qué supone? Pues que a los matemáticos se les desmonta el chiringuito. Ciencias exactas que ya no lo son